Don't you dare！ How dare you？
dare と言うワードは「あえて・思い切って何かをする」という意味があります。
"Don't you dare" は「あえてしないで」というニュアンスから「やめて、そんなことしないで」と言いたい時に。
とても強い言葉で、Don't より強い表現と言われています。軽く言っていたとしても「絶対にしないで」といったニュアンスです。
"How dare you" は「どうやってあえて〇〇なの？」という感じなので「なんでそんなことができるの、よくそんなことができるね」というニュアンスになります。
"How dare you" の場合は単に「よくもまあそんなことを…」という感じで使うこともあれば、結構怒っている表現にもなります。相手がどんな感じで言っているかによって気持ちは読み取れるでしょう。
してほしくないことを後に付け足して "Don't you dare tell anyone." といった形でも使われます。
「〇〇しないで」という英文には "Don't sai it." のように主語を省く場合もありますが、"Don't dare." とは言いません。
【Don't you dare - 英英辞典によるフレーズの意味】
If you say to someone 'don't you dare' do something, you are telling them not to do it and letting them know that you are angry.
Don't you dare definition and meaning | Collins English Dictionary
【How dare you - 英英辞典によるフレーズの意味】
You say 'how dare you' when you are very shocked and angry about something that someone has done.
How dare you definition and meaning | Collins English Dictionary
【「やめて」を表す他のフレーズ】