Why don't you ~？
「Why don't you 〇〇 ?」は「なぜそうしないの？なぜそうではないの？」と言った疑問を投げかけたい時と、「こうしたら？こうしない？」といった気軽な提案をしたいときに使用されるフレーズです。
【疑問】なぜそうしないの？なぜそうではないの？
Why don't you like cartoon?
このフレーズが使われているときは、なんでそうしないの？！そうじゃないの？！と驚きのニュアンスが含まれていることも多々あります。
イライラして言っているのか、驚きが含まれているのか、単に疑問として言っているのかは言い方やイントネーションによります。これは日本語でも同じですね。
「どうして〇〇しないの？」ということを強調させたいときは ever が使われます。Why don't you には提案の意味もありますが、ever が付いていたら理由を聞かれていることが明確になります。
Why don’t you ever eat 〇〇?
文脈によっては命令っぽい感じになることもあり、その際には just が付くことがあります。
Why don't you just shut up?
上記は「黙っていればいいのに」という意味にも捉えられますが、黙りなさいというニュアンスで言っている可能性もあります。
【提案】こうしたら？こうしない？
「なぜそうしないの？」といった意味から「そうしたらいいんじゃない？」という意味で捉えることもできます。
Why don't you 〇〇?
（あなたが）〇〇したらどう？
「なぜそうしない？」という率直な疑問と、相手にとって良いと思うことをアドバイスするようなニュアンスがあり、軽いアドバイスや押し付けがましくないちょっとした提案をするときに使われるとのことです。
そのためカジュアルな表現とされており、家族や友人など親しい関係にある人に伝えるときに使われ、目上の人に対して使うと失礼になってしまうようです。
Why don't we/I 〜？
主語が you なら「相手に向けてこうしてはどうか？」という意味ですが、we なら自分を含めて「一緒に〇〇しない？」という提案になります。
Why don't we 〇〇?
（私たちで）〇〇しない？（一緒にやろう）
Let's よりか直接的でなく、さらっとした提案になるようです。
「Why don't I 〇〇 ?」 なら「私が〇〇しようか」となりますが、上記二つに比べると使用される頻度が少ないような気がします。Do you want me to 〇〇? と言ったフレーズの方がよく聞きます。
あくまで海外アニメばかり見ている私の主観的なものですが…全く使われることがないわけではないので、覚えておくと迷わなくなるでしょう。
How about ～? との違い
「How about 〇〇？」 も提案をするときに使われるフレーズで、「これはどうですか？」という表現です。
Why don't you とは違う点があります。
Why don't you は比較的強めの提案で親しい人のみに使われます。
How about は丁寧で優しめの言い方になるので、日本語なら「いかがですか？どうですか？」といった感じ。なので使う相手は限られていません。
文法の違いは後にくる品詞が異なります。
Why don't you 動詞
How about 名詞・動名詞
Why not 〜？
Why don't you が省略されて Why not という言い方をすることもあります。よりフランクでカジュアルなフレーズなので、こちらも親しい間柄で使われる表現です。
Why not には返事をする際にも使われます。
【その他提案フレーズ】
What do you think about 〇〇?
「どう？」というより「どうかな？」というようなニュアンスで、少し柔らかくした提案表現です。